Kurs 1 Pbg II 2017: Topologie – Vom Schneiden, Kleben und Deformieren

Kurs 1: Topologie – vom Schneiden, Kleben und Deformieren

Liebe angehende Topolog*innen,

Herzlich willkommen in unserem Kurs! Wir freuen uns darauf, mit euch eine schöne, lehrreiche und rundum tolle Zeit zu verbringen. Bevor wir uns im August in Papenburg sehen, koordinieren wir die Vorbereitung über diese Seiten.

Wer sind wir?

Nachdem wir beide Mathematik studiert haben, arbeiten wir als wissenschaftliche Mitarbeiter am Institut für Mathematik in Augsburg. Zu unseren Aufgabenbereichen gehört es, Lehrveranstaltungen zu organisieren, Übungsblätter zu gestalten, möglichst spannende Tutorien abzuhalten und natürlich: unsere Doktorarbeiten zu schreiben. Die schreiben wir übrigens in den Gebieten Algebraische Geometrie und Algebraische Topologie. Ihr könnt uns ganz bestimmt duzen; das ist bei Doktorand*innen so üblich. Also: Wir sind Matthias und Eric!

Wer seid ihr?

Um den Kurs optimal auf euch abstimmen zu können — und auch einfach so, um euch kennenzulernen — würden wir uns freuen, wenn ihr euch im Forum kurz vorstellt. Uns interessieren neben eurem Vornamen und euren Hobbies auch Antworten auf folgende Fragen:  Habt ihr schon einen der folgenden Begriffe gehört oder könnt euch etwas darunter vorstellen? (Abelsche) Gruppe? (Stetiger) Weg? Homotopie? Was ist euer Lieblings (topologischer) Raum (z.B. Möbiusband, Torus, Kleinsche Flasche)? Was erwartet ihr euch von dem Kurs?

Wie wird der Kurs ablaufen?

Wir werden uns auf mehrere ganz verschiedene Arten und Weisen mit unseren Themen beschäftigen. Dazu gehört neben klassischem Frontalunterricht (durch uns und euch) in der Mathematik vor allem das Bearbeiten von spannenden Aufgaben — denn selbst erarbeiten macht mehr Spaß als erklärt bekommen!

Wir werden im Kurs lernen, wie man

  • mit Bildern rechnet
  • verschiedene (geometrische oder topologische) Formen präzise unterscheidet
  • erkennt, dass Formen gleich sind
  • unterschiedliche Formen ineinander deformiert
  • präzisiert, dass manche Formen „fast gleich“ sind.

Was ist vor der Akademie vorzubereiten?

Wir haben ein anspruchsvolles Programm mit euch vor. Wir werden mit Studieninhalten in Kontakt kommen, die weit ins Bachelorstudium hinein reichen! Aber keine Angst: Wir werden die notwendige Mathematik von Grund auf gemeinsam erarbeiten. Zum Beispiel werden wir folgende Begriffe nach und nach kennen lernen:

  • Gruppe
  • Vektorraum
  • Homöomorphismus
  • Homotopieäquivalenz
  • Fundamentalgruppe
  • Homologiegruppen

Wir erwarten keine besondere Vorbereitung von euch, sondern werden euch persönlich beim Einstieg in die Hochschulmathematik begleiten. Falls ihr es gar nicht mehr abwarten könnt, endlich loszulegen, so könnt ihr natürlich schon mal im Internet nach diesen Begriffen stöbern. Seid jedoch gewarnt! Es gibt sehr viele schwierige Quellen zu diesen Themen, die schnell abschreckend wirken können. Im Kurs werden wir dagegen gemeinsam und behutsam vorgehen und individuell auf Schwierigkeiten eingehen.

 

Hier sind noch ein paar schwierige Rätsel, die nichts mit Topologie zu tun haben:

Zehn Zwerge stehen hintereinander in einer Reihe. Der Böse Riese setzt jedem Zwerg einen roten oder einen blauen Hut auf. Da sie nur nach vorne schauen dürfen, können die Zwerge nur die Hüte vor ihnen sehen, nicht die hinter ihnen und auch nicht ihren eigenen. Der vorderste Zwerg sieht also gar keinen Hut, der hinterste sieht neun Hüte. Dann fragt der Böse Riese die Zwerge nacheinander, ob sie ihre eigene Hutfarbe erraten können. Er beginnt beim hintersten Zwerg. Jeder Zwerg darf nur entweder „Rot“ oder „Blau“ sagen — wenn er seine eigene Hutfarbe errät, kommt er frei, wenn nicht, muss er sterben. Die Zwerge können hören, welche Farben die anderen Zwerge raten, und ob sie richtig geraten haben, dürfen sonst aber nicht miteinander reden. Zum Glück haben sie am Tag zuvor Zeit, sich eine Strategie zu überlegen, damit möglichst viele Zwerge überleben! Was ist die beste Strategie? Wie viele Zwerge überleben bei dieser Strategie sicher?

Hundert Zwerge stehen im Kreis. Der Böse Riese setzt jedem einen roten oder einen blauen Hut auf. Jeder Zwerg kann die Hüte aller anderen 99 Zwerge sehen, aber nicht seinen eigenen. Nun müssen sie aber auf Signal des Bösen Riesen alle gleichzeitig eine Farbe sagen. Nur, wer dabei seine eigene Hutfarbe errät, bleibt am Leben. Die Zwerge können am Tag zuvor eine Strategie vereinbaren. Gibt es eine Strategie, sodass in jedem Fall mindestens die Hälfte der Zwerge überlebt?

(Das Königs-Zwergenrätsel — extrem schwer!) Unendlich viele Zwerge stehen im Kreis. Der Böse Riese setzt jedem von ihnen einen blauen oder einen roten Hut auf. Jeder Zwerg kann alle Hüte außer seinen eigenen sehen. Dann müssen sie auf Signal des Bösen Riesen alle gleichzeitig ihre eigene Hutfarbe raten, und überleben nur, wenn sie richtig liegen. Zum Glück haben die Zwerge zuvor unendlich viel Zeit, sich eine Strategie zu überlegen! Gibt es eine Strategie, sodass sicher nur endlich viele Zwerge sterben?

(Das Blaue-Augen-Rätsel) Auf einer einsamen Insel lebt ein Stamm von 1000 Ureinwohnern. 100 davon haben blaue Augen, die restlichen 900 haben braune Augen. Und dieser Stamm folgt einer merkwürdigen Religion, die ihnen folgende Regeln auferlegt: Niemand darf seine eigene Augenfarbe kennen! Wer auf irgendeine Weise seine Augenfarbe erfährt, muss am Morgen des nächsten Tages öffentlich auf dem Dorfplatz, wo alle es sehen können, einen rituellen Selbstmord begehen. Diese religiösen Vorschriften werden seit langer Zeit strikt eingehalten und alle Inselbewohner sind sich sicher, dass dies auch immer so bleiben wird. Zusätzlich sind diese Inselbewohner aber auch sehr intelligent und können alle logischen Schlüsse sofort ziehen. Sie würden also niemals über Augenfarben reden, um sich nicht aus versehen tödliche Hinweise zu geben. Als eines Tages ein Forschungsreisender auf die Insel kommt, wird er herzlich empfangen, und am Tag seiner Abreise gibt es ein großes Fest, bei dem alle Ureinwohner anwesend sind. In seiner Abschiedsrede erwähnt der Forschungsreisende jedoch, dass mindestens ein Bewohner der Insel blaue Augen hat. Was geschieht nach seiner Abreise?

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